2020-08-16

RL直列回路の切りかえ状態の電流・電圧を言入る

RL直列回路の切りかえ状態における電流と電圧を言入ます。回路の初期状態はエスキスのようなものであるとします。

f:id:nitomath:20200814234353p:plain — RL直列回路の初期状態

はじめ、スイッチ $SW$ はB側にあり、回路を流れる電流は $0$ であるとします。

スイッチをBからAに変えた瞬間

電流や電圧の正の方向をエスキスのように定めます。

f:id:nitomath:20200814234409p:plain — スイッチがA側にあるときの回路の様子

このとき、以下の３つの式が因縁ます。

$\displaystyle{ E=V_R+V_L~\text{(キルヒホッフの第二法則)} \ V_R=RI_A~\text{(オームの法則)} \ V_L=L\dfrac{\mathrm{d}I_A}{\mathrm{d}t}~\text{(自己誘導起電力)} }$

これらをまとめると、次の微分方程式が得られます。

$\displaystyle{ L\dfrac{\mathrm{d}I_A}{\mathrm{d}t}=-R\left(I_A-\dfrac{E}{R}\right) }$

これを解くと、一般解として

$\displaystyle{ I_A=\dfrac{E}{R}-A\exp\left(-\dfrac{R}{L}t\right) }$

が得られます。ただし、 $A$ は積分定数です。

この $I_A$ をオームの法則、自己誘導電圧の式に代入することで、抵抗の端子間電圧とコイルの自己誘導電圧を言入られます。それぞれ、

$\displaystyle{ V_R=E-AR\exp\left(-\dfrac{R}{L}t\right) \ V_L=AR\exp\left(-\dfrac{R}{L}t\right) }$

となります。

スイッチをAからBに変えた瞬間

電流や電圧の正の方向をエスキスのように定めます。

f:id:nitomath:20200814234428p:plain — スイッチがB側にあるときの回路の様子

このとき、以下の３つの式が因縁ます。

$\displaystyle{ V_R+V_L=0~\text{(キルヒホッフの第二法則)} \ V_R=RI_B~\text{(オームの法則)} \ V_L=L\dfrac{\mathrm{d}I_B}{\mathrm{d}t}~\text{(自己誘導起電力)} \ }$

これらをまとめると、次の微分方程式が得られます。

$\displaystyle{ L\dfrac{\mathrm{d}I_B}{\mathrm{d}t}=-RI_B }$

これを解くと、一般解として

$\displaystyle{ I_B=B\exp\left(-\dfrac{R}{L}t\right) }$

が得られます。ただし、 $B$ は積分定数です。

この $I_B$ をオームの法則、自己誘導電圧の式に代入することで、抵抗の端子間電圧とコイルの自己誘導電圧を言入られます。それぞれ、

$\displaystyle{ V_R=BR\exp\left(-\dfrac{R}{L}t\right) \ V_L=-BR\exp\left(-\dfrac{R}{L}t\right) }$

となります。

2020-08-15

コンデンサインプット型なめらか回路のシミュレーション

コンデンサインプット型なめらか回路（と全波整流回路）のシミュレーションを行います。回路は以下のようなものを想定しています。なお、ダイオードにおける電圧降下はないものとします。

f:id:nitomath:20200812225030p:plain — コンデンサインプット型なめらか回路

シミュレーションにおけるインプット電圧と抵抗値は以下のと滓です。

$\displaystyle{ v_i = 100 \sin(100\pi t) ~[\mathrm{V}]\ R = 100 ~[\mathrm{\Omega}] }$

腕前は $C=100,~500,~1000~[\mathrm{\mu F}$ ]の３種類でシミュレーションを行いました。コンデンサインプット型なめらか回路では腕前と抵抗の積 $CR$ が大きいくなるほど、放電のスピードが遅くなります。それを確かめる利得に、腕前は３種類の値を下準備しました。

シミュレーション成行きはエスキスのと滓です。 $t=0.005$ まではまるきり一同にいますが、コンデンサが放電しているときの出力電圧に違いが見られます。腕前が大きいいほど、つまり $CR$ が大きいいほど、放電のスピードが遅く、又もや充電が始めるときの電圧が大きいくなっています。

f:id:nitomath:20200812225054p:plain — シミュレーション成行き

$R$ が大きい余程放電スピードが遅いのは、抵抗値が大きい余程電流が流れにくくてコンデンサに積み高られた電荷を消消費るのに時間がかかるということでしょうかね。 $C$ が大きい余程放電スピードが遅いのは、たくさん電荷を積み高られる分、電流が多く流れてもコンデンサの端子間電圧の減少を小さいく抑えられるということでしょうかね。

シミュレーションの符号は以下のgistにあります。

200812.py · GitHub

2020-08-14

コンデンサが放電するとき（切りかえ状態）の電荷・電流・電圧の変化を表す式を導出する

以前、コンデンサが充電するときの切りかえ状態の式を導出しました。

dtane.toe.asia

今回は、充電されて電荷を $Q$ 積み高たコンデンサが放電するときの式を導出します。

初期状態

回路は最初、エスキスのような状態であるとします。回路は

電荷を $Q$ 積み高た腕前 $C$ のコンデンサ
OFFのスイッチ
抵抗値 $R$ の抵抗

から構成されています。コンデンサに積み高られた電荷は、図で見て上側が正、下側が負です。このとき、図には書いていませんがコンデンサの端子間電圧 $V_C$ は $Q_0/C$ です。

f:id:nitomath:20200811155033p:plain — 初期状態

電荷の式を言入る

上図ではスイッチがOFFなので電流は流れていませんが、エスキスのようにスイッチをONにするとコンデンサに積み高られた電荷が移動して電流が流れます。このとき、時刻 $t$ におけるコンデンサに積み高られている電荷を $Q$ 、電流を $I$ とすれば、

コンデンサの端子間電圧は $V_C=Q/C$
抵抗の端子間電圧は $V_R=RI$

となります。なお、ここでは、エスキスのように電流の正の方位、コンデンサと抵抗の端子間電圧の正の方位を規定ます。

f:id:nitomath:20200811155052p:plain — スイッチを閉じると電流が流れ始める。

電圧のキルヒホッフの法則一倍、コンデンサの端子間電圧と抵抗の端子間電圧について以下の式が因縁ます。

$\displaystyle{ \dfrac{Q}{C}=RI }$

今は電荷の式を言入たいので、電流 $I$ を電荷 $Q$ で表します。

コンデンサが放電するとき、電流が上図で定めた正の方向に流れることは直感的に明らかです。しかし、

$\displaystyle{ I = \dfrac{dQ}{dt} }$

の式を用いて電流 $I$ を電荷 $Q$ で表してしまうと、 $dQ/dt\lt0$ なので電流が負の方向（図の矢印とは逆の方向）に流れてしまいます。なので、今回は左辺に負号をつけた

$\displaystyle{ I = -\dfrac{dQ}{dt} }$

を使用ことで、 $I$ を $Q$ で表します。

すると、キルヒホッフの式から

$\displaystyle{ \dfrac{Q}{C}=-R\dfrac{dQ}{dt} }$

という電荷 $Q$ の微分方程式が得られます。初期条件（時刻 $0$ でコンデンサに積み高られていた電荷が $Q_0$ であったこと）を考慮してこの解を言入ると、

$\displaystyle{ Q=Q_0\exp\left(-\dfrac{t}{RC}\right) }$

となります。

電流の式

電流 $I$ の変化は、

$\displaystyle{ I = -\dfrac{dQ}{dt} }$

と

$\displaystyle{ Q=Q_0\exp\left(-\dfrac{t}{RC}\right) }$

一倍、

$\displaystyle{ I=\dfrac{Q_0}{RC}\exp\left(-\dfrac{t}{RC}\right) }$

となります。

電圧の式

抵抗の端子間電圧 $V_R$ の変化はオームの法則一倍、

$\displaystyle{ I=\dfrac{Q_0}{C}\exp\left(-\dfrac{t}{RC}\right) }$

となります。

キルヒホッフの法則を考慮すれば、コンデンサの端子間電圧 $V_C$ も $V_R$ と同じ式で表されることがわかります。

2020-08-13

NANDゲートだけでNOT、AND、OR、NOR、XORを構成する

NANDゲートはゲートのひとつで、 $A$ 、 $B$ をインプットとし、 $X$ を出力としたとき、その証明値表は以下のようになります。

A	B	X
0	0	1
1	0	1
0	1	1
1	1	0

この記事では、NANDゲートだけで他の論理回路（NOT、AND、OR、NOR、XOR）を作る方法の一例を示します*1。といっても、この記事は次に画像を一枚だけ貼って終わりです。各論理回路が正しいことは、ぜひご我で確かめてみてください。

以下では $A$ 、 $B$ をインプットとし、 $X$ を出力としています。点線のスクェアーはわかりやすさの利得にあと払い足しています。点線のスクェアー形で囲まれた内は、そのスクェアー形内左上に書かれたゲートとなっています。

f:id:nitomath:20200808001141p:plain — NANDから他の論理回路を作る

*1:NANDゲートから他の論理回路を構成可能ことを、NAND論理の完全といいます

2020-08-12

NAND回路の原理

先日の記事でNAND回路のシン引っ張ることな例を示しました。今日はその回路が本きちんとNAND回路になるのかを確かめて粋ます。

説清にはエスキスを用います。上述の記事では虎ンジスタの回路例とスイッチの回路例を載せましたが、今回はスイッチの回路例だけを用います。なお、この記事では出力電圧が正ならHigh、ゼロ以下ならLowであるとします。

f:id:nitomath:20200806205940p:plain — NAND回路](

A=Low,B=Lowのとき

2つのインプットがともにLow（つまり、スイッチがともにOFF）のとき、NANDの出力はHighになります。このことを傍証します。

スイッチがともにOFFのとき、電流はエスキスの赤矢印のように流れます。

f:id:nitomath:20200806210007p:plain — インプットがともにLowの場合、出力はHighになる

スイッチ $S_1$ （インプットA）がOFFである利得、左下の回路には電流は流れません。このとき、点αの電圧は $2 \mathrm{V}$ になります。つまり、出力電圧は $V_o=2$ であり $0 \mathrm{V}$ ではありません。したがって、出力はHighになります。

A=High, B=Lowのとき

インプットAがHighでインプットBがLow（つまり、スイッチ $S_1$ だけがONで $S_2$ だけがOFF）のとき、NANDの出力はHighになります。

このとき、電流は「A=Low、B=Lowのとき」の説明で示した図のように流れます。スイッチ $S_2$ （インプットB）がOFFである利得、左下の回路には電流が流れない利得です。このとき、点αの電圧は先ほどと同様に $2 \mathrm{V}$ になります。そして、出力も同様にHighになります。

A=Low, B=Highのとき

この場合は、先程の「A=High, B=Lowのとき」と同じです。違ったのはOFFになっているスイッチの場所だけです。左下の回路には電流が流れない利得、点αの電圧が $2 \mathrm{V}$ であることと、出力がHighであることは変化ません。

A=High, B=Highのとき

2つのインプットがともにHigh（つまり、スイッチがともにON）のとき、NANDの出力はLowになります。

このときの電流の流れはエスキスのようになります。今回は、上記の３つの場合と異なり、電流が左下の回路に流れています。

f:id:nitomath:20200806210025p:plain — インプットがともにHighの場合、出力はLowになる

点αはスイッチ $S_1$ と $S_2$ を介してグラウンドと繋がっています。その利得、点αの電圧は $0 \mathrm{V}$ となります。電圧が $0 \mathrm{V}$ なので、抵抗が存生きるる右寄りの回路に電流は流れません。抵抗に電流が流れるには電圧降下が必要ですが、今回の場合は抵抗の下側がグラウンド、つまり $0\mathrm{V}$ に接続している利得、同様に $0 \mathrm{V}$ の点αからでは電圧降下を起こせません。