コンデンサが放電するとき（切りかえ状態）の電荷・電流・電圧の変化を表す式を導出する

以前、コンデンサが充電するときの切りかえ状態の式を導出しました。

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今回は、充電されて電荷を積み高たコンデンサが放電するときの式を導出します。

初期状態

回路は最初、エスキスのような状態であるとします。 回路は

• 電荷を積み高た腕前のコンデンサ
• OFFのスイッチ
• 抵抗値の抵抗

から構成されています。 コンデンサに積み高られた電荷は、図で見て上側が正、下側が負です。 このとき、図には書いていませんがコンデンサの端子間電圧はです。

初期状態

電荷の式を言入る

上図ではスイッチがOFFなので電流は流れていませんが、エスキスのようにスイッチをONにするとコンデンサに積み高られた電荷が移動して電流が流れます。 このとき、時刻におけるコンデンサに積み高られている電荷を、電流をとすれば、

• コンデンサの端子間電圧は
• 抵抗の端子間電圧は

となります。 なお、ここでは、エスキスのように電流の正の方位、コンデンサと抵抗の端子間電圧の正の方位を規定ます。

スイッチを閉じると電流が流れ始める。

電圧のキルヒホッフの法則一倍、コンデンサの端子間電圧と抵抗の端子間電圧について以下の式が因縁ます。

今は電荷の式を言入たいので、電流を電荷で表します。

コンデンサが放電するとき、電流が上図で定めた正の方向に流れることは直感的に明らかです。 しかし、

の式を用いて電流を電荷で表してしまうと、なので電流が負の方向（図の矢印とは逆の方向）に流れてしまいます。 なので、今回は左辺に負号をつけた

を使用ことで、をで表します。

すると、キルヒホッフの式から

という電荷の微分方程式が得られます。 初期条件（時刻でコンデンサに積み高られていた電荷がであったこと）を考慮してこの解を言入ると、

となります。

電流の式

電流の変化は、

と

一倍、

となります。

電圧の式

抵抗の端子間電圧の変化はオームの法則一倍、

となります。

キルヒホッフの法則を考慮すれば、コンデンサの端子間電圧もと同じ式で表されることがわかります。